미분의 연쇄법칙(체인룰)
나이먹고 공업수학을 계절학기로 수강하는데 요,,요 chain rule, 연쇄법칙이 헷갈린다
이번에 좀 정리를 했다.
미분연산자, 체인룰, 좌표변환: 다 엮어서 정리해보기
체인룰이라고 하면 괜히 기호가 분수처럼 보여서 헷갈리고, 미분연산자라니까 대체 뭔지 감이 안 오고,
거기에 좌표계 바꾸는 얘기까지 얹으면 머리가 복잡해지기 딱 좋지만… 사실 다 연결되어 있다!
목차
- 체인룰 복습: $x = e^t$ 치환 예시
- 미분연산자: 분수 아닌 연산의 합성
- 기하학적 해석: 접선벡터와 스케일 조정
- 좌표계를 바꾸면 편미분도 변한다
- 덤으로: 분수阶 미분(Fractional Calculus)
- 마무리: 미분과 변환은 한 몸통
체인룰 복습: $x = e^t$ 치환 예시
(1) 1차 미분
함수 $y(x)$가 있을 때, 치환을 $x = e^t$로 두어서 $t = \ln x$라고 하자. 그러면 보통 이렇게 쓴다:
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}.
$$
그런데 $\frac{dx}{dt} = e^t$이므로 $\frac{dt}{dx} = e^{-t}$. 따라서
$$
\frac{dy}{dx} = \left(\frac{dy}{dt}\right) e^{-t}.
$$
즉,
$$
y'(x) = e^{-t} y'(t).
$$
(여기서 $y'(t) = \frac{dy}{dt}$.)
(2) 2차 미분
조금 더 꼬인 부분이 2차 미분이다:
$$
y''(x) = \frac{d}{dx}\left[y'(x)\right] = \frac{d}{dx}\left(e^{-t} \frac{dy}{dt}\right).
$$
이제 체인룰을 한 번 더 적용해야 하는데, 순서가 중요하다.
- 먼저 $t$로 미분:
- $$
\frac{d}{dt}\left(e^{-t} \frac{dy}{dt}\right) = e^{-t} \left(\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}\right).
$$ - 그리고 그 결과에 $\frac{dt}{dx} = e^{-t}$를 곱:
$$
y''(x) = \left( e^{-t} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right) \right) \cdot e^{-t} = e^{-2t} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right).
$$
이게 벌써 $x$에 대한 2차 미분($y''(x)$)의 완성이다.
중간에 “어, 왜 또 $e^{-t}$를 곱하지?” 같은 말이 나올 수 있지만, 그게 바로 체인룰의 마지막 단계($\times \frac{dt}{dx}$)인 것이다.
미분연산자: 분수 아닌 연산의 합성
(1) $\frac{d}{dx}$는 사실 “연산자”이다
학교에선 $\frac{dy}{dx}$가 분수 같아 보여서, $\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}$ 식으로 나누고 곱하고 싶어진다.
그런데 해석학 쪽 관점으론,
- $D_x$ : “$x$로 미분한다”는 연산(오퍼레이터)
- $D_t$ : “$t$로 미분한다”는 연산
이렇게 생각하는 편이 더 자연스럽다. 그리고
$$
D_x = \frac{d}{dx} = \frac{d}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = e^{-t} D_t.
$$
이 식에서 $e^{-t}D_t$라고 쓰면 왠지 $e^{-t}$를 함수에 먼저 곱하는 것처럼 보이지만, 사실은
“(1) $t$-미분($D_t$)을 먼저 하고, (2) 결과에 $e^{-t}$를 곱하는 합성”
라는 점이 중요하다.
(2) 예시: $D_x[e^{-t} y'(t)]$
$$
D_x \big[e^{-t} y'(t)\big] = \underbrace{e^{-t}}_{\text{(2) 보정}} \cdot \Big(\underbrace{D_t \big[e^{-t} y'(t)\big]}_{\text{(1) 먼저 } t \text{로 미분}}\Big).
$$
이걸 순서대로 하면 위에서 얻은 결과 $e^{-2t}[\dots]$가 잘 나오는데,
중간에 순서를 바꾸면 “아직 한 번 더 미분해야 하나?” 같은 오류가 생긴다.
그러므로 연산자 합성이라고 생각하면 체인룰이 훨씬 깔끔해진다.
기하학적 해석: 접선벡터와 스케일 조정
미분기하학 쪽 시선으로는,
- $\frac{d}{dx}$ = “$x$ 방향 접선벡터”에 따라 함수를 얼마나 변화시키냐
- $\frac{d}{dt}$ = “$t$ 방향 접선벡터”에 따른 변화율
이고, $x=e^t$라면 “$t$가 조금 변하는 것”과 “$x$가 조금 변하는 것” 사이에 배율이 $e^t$만큼 다르다.
그래서 미분값에도 $e^{-t}$ 같은 항이 붙는 것이다. 한마디로, 파라미터를 바꿨으니 스케일 조정이 들어간다고 해석할 수도 있다.
좌표계를 바꾸면 편미분도 변한다
1차원에서 $x \mapsto t$를 바꿨듯이, 2차원(또는 3차원) 좌표계를 새로 설정해도 상황은 비슷하다.
예를 들어 $(x,y)$ 대신 $(u,v)$라는 새 좌표를 쓰면, 편미분에 대한 체인룰이:
$$
\frac{\partial}{\partial u} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial}{\partial y}.
$$
이건 1차원 체인룰
$$
\frac{d}{dt} = \frac{dx}{dt} \frac{d}{dx}
$$
의 완전한 확장판이다.
결국 “좌표계(독립변수)를 새로 정의하면 미분연산자가 바뀐다”는 본질은 동일하다. 1차원이냐 2차원이냐 차이만 있을 뿐이다.
덤으로: 분수阶 미분(Fractional Calculus)
갑자기 다소 다른 얘기 같지만, “미분연산자” 개념이 생각보다 훨씬 확장 가능하다는 사실을 보여주는 예시가 있다. 바로 분수阶 미분(Fractional Calculus).
- 우린 보통 미분 차수가 정수(1차, 2차, …)라고 배웠으나, 실제로는 $\frac{1}{2}$차 같은 “반 번 미분”도 정의할 수 있다.
- 공학, 물리 등에서 분수阶 미분방정식이 자연스럽게 등장하거나, 분수阶 PID 제어 같은 게 연구되기도 한다.
- 적분과 미분이 사실상 하나로 이어진다는 관점에서, 차수를 실수로 확장해도 꽤 재미있는 이론이 만들어진다.
체인룰과 직접적인 긴 연결고리는 아니지만, “미분연산자”가 꼭 정수阶일 필요는 없다는 점을 알면, 우리가 늘 보던 $\frac{d}{dx}$가 더 폭넓은 세계의 일부라는 걸 체감할 수 있다.
마무리: 미분과 변환은 한 몸통
- 변수변환: $x \mapsto t$ (1차원)
- 좌표변환: $(x,y)\mapsto(u,v)$ (다차원)
- 연산자 합성: $D_x = e^{-t} D_t$
- 접선벡터 해석: “$t$-방향 vs. $x$-방향”
- 그리고 분수阶 미분이라는 별난 확장판까지
결국 “어떤 변수(좌표)를 기준으로 측정하냐”가 달라지면, 그에 맞춰 미분연산자(접선벡터)도 달라지고, 그 관계를 풀어내는 법칙이 바로 체인룰이다.
그래서 $x=e^t$ 치환에서 마지막에 $\times e^{-t}$가 붙는 것도,
$(x,y)\to(u,v)$로 바꿨더니 편미분 공식이 길어지는 것도,
결국은 다 같은 이유라는 거다.
한 줄 요약하자면:
“좌표(변수)를 바꾸면 거기에 맞게 미분이라는 연산도 보정이 필요하다. 그걸 그냥 체인룰이라 부르는 것이다.”
여기에 “분수阶 미분”까지 살짝 보태보면, “미분”이라는 개념이 생각보다 훨씬 깊고 다양한 모습을 갖추고 있음을 느끼게 된다.
다소 복잡해 보이지만, 알고 보면 ‘같은 구조’가 여기저기서 반복되는 재미난 세계다.