공학

부분분수 분해 원리

Engivia 2025. 1. 13. 23:12

부분분수 분해의 원리와 거듭제곱 인수 분해

유리함수(다항식 대 다항식) 형태의 분수식을 다룰 때, 부분분수 분해는 필수적인 기법이다. 이를 통해 적분, 미분방정식, 라플라스 변환 등에서 복잡한 식을 간단히 처리할 수 있다. 아래에서는 부분분수 분해가 왜 가능한지, 그리고 거듭제곱 인수가 있을 때 어떻게 정석 형태로 쪼개어 표현하는지 그 과정을 살펴본다.

1. 분자 차수 조정: 다항식의 나눗셈

유리함수
$$
\frac{P(x)}{Q(x)}
$$
를 부분분수 형태로 만들기 위해서는, 우선 분자 차수($\deg(P)$)가 분모 차수($\deg(Q)$)보다 작은지 확인해야 한다. 만약
$$
\deg(P) \ge \deg(Q)
$$
라면, 다항식의 나눗셈을 통해 다음과 같이 표현한다.

$$
\frac{P(x)}{Q(x)}
=
S(x)
+
\frac{R(x)}{Q(x)},
$$

여기서 $S(x)$는 다항식 몫이고, $R(x)$는 나머지로서
$$
\deg(R) < \deg(Q)
$$
가 되도록 한다. 결국 부분분수 분해는
$$
\frac{R(x)}{Q(x)}
$$
에 대해서만 진행하면 된다.

2. 분모의 인수분해와 부분분수의 '덩어리' 형태

분모 $Q(x)$가 인수분해 가능한 이유는 대수학의 근본원리에 기초한다. 실수 범위에서라면 1차 또는 2차 인수로, 복소수 범위에서는 1차 인수만으로 완전히 쪼갤 수 있다.

2.1 덩어리 형태의 예시

예컨데, 분모에 $(x-r)^m$ 같은 거듭제곱 인수가 포함되어 있다면, 아래와 같이 덩어리 형태로 가정할 수 있다.

$$
\frac{\text{최대 }(m-1)\text{차 다항식}}{(x-r)^m}.
$$

즉, 분자가
$$
a_{m-1} x^{m-1} + \dots + a_0
$$
(차수 $\le m-1$)로 되어 있는 형태를 생각할 수 있다. 이렇게 잡으면 "분자 차수 = (분모 차수) - 1" 범위 내에서 식을 통제할 수 있게 된다.

3. 정석 형태: 거듭제곱 인수 $(x-r)^m$를 1차 항들로 완전히 쪼개기

부분분수의 '정석' 분해에서는 $(x-r)^m$에 대해

$$
\frac{A_1}{(x-r)}
+
\frac{A_2}{(x-r)^2}
+
\dots
+
\frac{A_m}{(x-r)^m}
$$

처럼 하나씩 항을 배정하는 방식을 취한다.

  • 만약 덩어리로 $\displaystyle \frac{p_{m-1}(x)}{(x-r)^m}$ 형태로 두었더라도, 실제로는 그것을 모두 1차 항의 합으로 다시 쪼갤 수 있다.

3.1 왜 $(x-r)^m$를 이렇게 쪼개는 것이 항상 가능한가?

이를 보이기 위해 양변에 $(x-r)^m$을 곱해서, "분자 = 분자" 항등식을 만들면 된다. 예를 들어,

$$
\frac{p_{m-1}(x)}{(x-r)^m}
=
\frac{A_1}{(x-r)}
+\cdots+
\frac{A_m}{(x-r)^m}
$$

양변에 $(x-r)^m$을 곱하면

$$
p_{m-1}(x)
=
A_1,(x-r)^{m-1}
+
A_2,(x-r)^{m-2}
+\dots+
A_m.
$$

오른쪽은 $(x-r)^{m-1} (x-r)^{m-2}, \dots (x-r)^0$의 선형 결합이 된다. 서로 다른 지수를 가지는 이러한 항들은 선형 독립이므로, 어떤 $\deg \le (m-1)$인 다항식 $p_{m-1}(x)$도 유일한 방법으로 표현할 수 있다. 따라서

$$
\frac{p_{m-1}(x)}{(x-r)^m}
=
\frac{A_1}{(x-r)}
+
\frac{A_2}{(x-r)^2}
+
\dots
+
\frac{A_m}{(x-r)^m}.
$$

즉, "덩어리"를 "1차 항들"로 세분화할 수 있음을 보장할 수 있다.

4. 전체 분모가 여러 인수를 갖는 경우

분모가
$$
(x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2}\cdots
$$
처럼 여러 거듭제곱 인수로 이루어져 있다면, 각각의 인수에 대해 위 과정을 독립적으로 적용할 수 있다. 예를 들어:

  1. $(x-r_1)^{m_1}$ 블록:

    $$ \frac{A_{1,1}}{(x-r_1)} + \frac{A_{1,2}}{(x-r_1)^2} + \cdots + \frac{A_{1,m_1}}{(x-r_1)^{m_1}} $$

  2. $(x-r_2)^{m_2}$ 블록:

    $$
    \frac{A_{2,1}}{(x-r_2)}+ \cdots + \frac{A_{2,m_2}}{(x-r_2)^{m_2}} $$

이 항들을 모두 더해 통분하면, 원래의 덩어리 분수와 같아짐을 계수 비교로 확인할 수 있다.

5. 분해 후 계수 결정: 통분과 항등식

분모의 모든 인수를 대상으로 위처럼 분해했다면,

  1. 통분: 분모를 같게 만들어 식을 합치면
    $$ \frac{\text{(결과 분자)}}{Q(x)} = \frac{R(x)}{Q(x)}. $$

    1. 분자 항등식: 결국

    $$ \text{(결과 분자)} = R(x). $$

서로 다른 차수(또는 서로 다른 형태)의 항은 선형 독립이므로, 항별 계수를 비교하면 $A_{i,j}$ 등의 미지수가 유일하게 결정된다. 이 과정을 거쳐 실제 부분분수 분해가 완성된다.

6. 요약 및 대수학적 의의

  1. 분자 차수 조정: 먼저 다항식 나눗셈으로 $\deg(\text{분자}) < \deg(\text{분모})$ 상태를 만든다.
  2. 덩어리 분해: 인수가 $(x-r)^m$이면
    $$
    \frac{\deg \le (m-1),\text{다항식}}{(x-r)^m}
    $$
    꼴로 표현할 수 있다.
  3. 완전 분해: 위 덩어리를
    $$
    \frac{A_1}{(x-r)} + \cdots + \frac{A_m}{(x-r)^m}
    $$
    로 더 세분화할 수 있으며, 이때 계수들은 항등식에 의해 유일하게 결정된다.
  4. 여러 인수의 곱: 분모가 여러 거듭제곱 인수를 갖는다면, 각각에 대해 같은 절차를 독립적으로 적용한다.

이 모든 과정은 대수학의 근본원리(인수분해 가능성, 다항식 항등식, 선형 독립성)에 기초하며, 그에 따라 유리함수를 표준 형태(부분분수)로 분해할 수 있음을 보장한다. 이렇게 분해된 결과는 적분, 미분방정식 풀이, 라플라스 변환 등에서 매우 유용하게 쓰인다.