대입/수학

확률과 통계 - 조건부 확률과 대칭성

Engivia 2025. 4. 10. 12:35

30명의 사람이 있고, 이들을 5명씩 6개의 조로 나누려고 한다고 해보자.
이때, 범성이와 기륜이가 같은 조에 속할 확률은 얼마일까?

이 문제는 겉보기에 단순해 보이지만, 어떻게 접근하느냐에 따라 풀이 방식이 달라진다.
직관적으로 빠르게 구하는 방법도 있고, 수학적으로 정확하게 경우의 수를 따져서 푸는 방법도 있다.
두 방식은 결과는 같지만 해석의 깊이에는 차이가 있다.

 

 

 

 

 

우선, 모든 조가 5명씩 균등하게 나뉜 상황부터 살펴보자.

이 경우, 범성이는 어느 조에 속하든 상관없다. 어차피 확률은 1이기 때문이다.
이제 기륜이가 범성이와 같은 조에 들어가야 둘이 같은 조가 된다.
남은 29자리 중에서 범성이가 속한 조의 나머지 4자리 중 하나를 선택하면 되므로, 확률은

$$
\frac{4}{29}
$$

이 된다. 아주 간단하고 우아한 풀이이다.

 

하지만 이걸 좀 더 수학적 확률의 관점에서,
즉 “성공 경우의 수 / 전체 경우의 수”로 풀어보면 어떻게 될까?

  • 전체 경우의 수는 30명 중에서 2명을 뽑는 경우이므로

    $$
    \binom{30}{2} = 435
    $$
  • 범성이와 기륜이가 같은 조에 있을 수 있는 경우는, 각 조에서 2명을 뽑는 경우의 수의 합이다.
    5명 중 2명을 고르는 경우는이고, 이런 조가 6개 있으므로 전체 성공 경우는
    $$
    6 \times 10 = 60
    $$
    $$
    \binom{5}{2} = 10
    $$

따라서 확률은

$$
\frac{60}{435} = \frac{4}{29}
$$

로 앞서의 직관적 풀이와 정확히 일치한다.

또는 경우의 수를 정리해서 다음과 같이 표현할 수도 있다:

$$
\frac{6C1 \times 5P2}{30P2}
$$

 

 

 

하지만 이런 간단한 풀이가 언제나 통하는 것은 아니다.
위와 같은 직관적 풀이가 성립하는 배경에는 조의 크기가 모두 동일하다는 대칭성이 숨어 있다.

이제 문제를 조금 더 복잡하게 바꿔보자.
조의 구성 인원이 다음과 같다고 하자:

5 / 6 / 4 / 5 / 5 / 5

이제는 범성이가 어느 조에 배정되느냐에 따라
기륜이가 그 조에 들어갈 수 있는 자리 수가 달라진다.
이 상황에서는 단순히 “범성이는 무조건 배정, 기륜이는 남은 자리 중 같은 조 선택” 식으로 풀 수 없다.

조건부 확률로 접근해보자

  1. 범성이가 각 조에 배정될 확률은 조의 크기에 비례하므로 다음과 같다:
    • 5명 조: $4 \times 5 = 20$명 → 확률 $\frac{20}{30}$
    • 6명 조: $1 \times 6 = 6$명 → 확률 $\frac{6}{30}$
    • 4명 조: $1 \times 4 = 4$명 → 확률 $\frac{4}{30}$
  2. 기륜이가 같은 조에 들어갈 확률:
    • 5명 조: 남은 자리 4 → 확률 $\frac{4}{29}$
    • 6명 조: 남은 자리 5 → 확률 $\frac{5}{29}$
    • 4명 조: 남은 자리 3 → 확률 $\frac{3}{29}$
  3. 따라서 전체 확률은 다음과 같다:

$$
\frac{20}{30} \times \frac{4}{29} + \frac{6}{30} \times \frac{5}{29} + \frac{4}{30} \times \frac{3}{29}
= \frac{80 + 30 + 12}{870} = \frac{122}{870} = \frac{61}{435}
$$

수학적 확률로 풀어도 마찬가지다

  • 전체 경우의 수:
  • $$
    \binom{30}{2} = 435
    $$
  • 성공 경우의 수는 각 조별로 다음과 같다:
    • 5명 조: $4 \times \binom{5}{2} = 4 \times 10 = 40$
    • 6명 조: $\binom{6}{2} = 15$
    • 4명 조: $\binom{4}{2} = 6$
    따라서 전체 성공 경우의 수는
  • $$
    40 + 15 + 6 = 61
    $$

확률은 역시

$$
\frac{61}{435}
$$

이 된다.

 

 

이제 이 문제에서 얻은 깨달음을 요약해보면

  • 조의 크기가 모두 같다면,
    기륜이가 같은 조의 남은 자리에 들어갈 확률을 직접 계산하면 빠르고 직관적인 풀이가 가능하다.
  • 하지만 조의 크기가 서로 다르면,
    조건부 확률 또는 수학적 확률의 엄밀한 접근이 반드시 필요하다.

단순한 상황에서는 우아한 해법이 유용하지만,
그 풀이가 성립하는 전제(대칭성)를 인식하지 못한 채 무작정 사용하면,
복잡한 문제에서는 오히려 위험해질 수 있다.

그래서 때로는 길고 복잡해 보이더라도,
수학적으로 정확한 원리에 근거한 해법을 선택하는 것이 더 안전하고 본질적인 접근이 될 수 있다.