중복조합을 이렇게 이해하자!

중복조합

참고서, 개념서에는 중복조합의 정의를
'서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 고르는 경우의 수'
라고 한다.

그러나,
'서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 고르는 경우의 수'가 아니라
'(서로 다른) n개의 종류에서 r개를 고르는 경우의 수'라고 이해해야 더 명확하다.

왜 이렇게 정의해야 하는가?

이를 위해 중복조합의 정의를 살펴보자.
중복조합의 증명은 두 가지 방법으로 알려져있다.

1. 칸막이를 도입하여 증명
2. 순서쌍을 이용하여 증명

이 증명을 마친 후 이 개념을 조합에 적용할 수 없다는 것을 알 수 있다.
만약 중복조합이
'서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 고르는 경우의 수'
라고 한다면 위의 두 증명(칸막이, 순서쌍)을 이용해서 조합도 설명되야 한다.
그러나, 비슷해 보이는 수식 ${}_{n}C_{r}$과 ${}_{n}H_r$을 잘 살펴보면
특히 예시를 들어 ${}_{6}C_2$ 와 ${}_{6}H_2$의 수식을 분수로 풀어놓고 생각해보면
조합은 도저히 위의 두 논리로 설명 안된다.
애시당초 정의가 다르기 때문이다.

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이어서