우리는 경우의 수를 배울 때 네 가지 방식을 접한다.
순열, 조합, 중복순열, 중복조합.

겉으로 보면 네 가지 방식이 전혀 달라 보인다.
하지만 실제로는 모두 같은 길을 걷는다.

곱하고 나누는 일.
이 두 가지만으로 세상의 모든 경우의 수는 계산된다.

1. 순열 – 구별을 만들고 그대로 둔다

순열은 가장 단순하다.
5명을 일렬로 세우면
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5!.
이게 전부다.

곱셈만 있다.
나눗셈은 없다.

왜냐.
우리가 만든 순서는 모두 구별되기 때문이다.

A-B-C-D-E와
B-A-C-D-E는
다른 줄이다.

따라서 구별할 것도 없고 묶을 것도 없다.
곱하고 그대로 둔다.

2. 조합 – 구별을 만들고 일부를 묶는다

조합은 여기서 한 단계 더 들어간다.

예를 들어 5명 중 2명을 고른다고 하자.
처음에는 순열처럼 곱셈을 한다.

5 × 4 = 5P2.

하지만 곧 문제에 부딪힌다.
A-B와 B-A를 따로 세고 있는 것이다.

뽑힌 둘의 순서는 의미가 없다.

그래서 이 의미 없는 구별을 제거한다.
2명 뽑은 경우는 2! = 2가지.
따라서 나눈다.

5P2 ÷ 2! = 5C2.

곱하고 나눈다.
구별을 만들고 불필요한 구별을 묶는다.

3. 중복순열 – 줄어들지 않는 선택을 반복한다

중복순열은 더 단순하다.
0부터 9까지 숫자로 4자리 비밀번호를 만든다고 하자.

각 자리마다 10개의 선택지가 있다.
그리고 선택할 때마다 가능한 선택지가 줄어들지 않는다.

그러니까
10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴.

순열보다도 계산이 쉽다.

여기도 나눗셈은 없다.
왜냐.
순서를 모두 구별하기 때문이다.

곱하고 끝낸다.

4. 중복조합 – 줄어들지 않는 선택에서 순서를 무시한다

중복조합은 여기서 복잡해진다.

5종류 과자 중 3개를 고른다고 하자.
같은 종류를 여러 번 골라도 된다.

처음에는 중복순열처럼 생각한다.
각 번마다 5개 선택지가 있다.

하지만 문제는
똑같은 과자 2개, 다른 과자 1개를 고르더라도
선택 순서를 따지지 않는다는 것이다.

그래서 곱한 결과를 그대로 쓸 수 없다.

별 3개와 막대 4개를 일렬로 배열한다고 바꾸면
총 7개 자리 중 별 3개를 고르는 문제가 된다.

7C3 = 35.

중복조합의 공식은 (n + r - 1)Cr.

줄어들지 않는 대상들에서
고른 결과들의 순서를 무시하고 세는 방식이다.

(※) 합의 법칙은?

물론 경우의 수에는 합의 법칙도 있다.

서로 다른 선택지를 가진 경우에는
경우의 수를 더하는 방식으로 계산한다.

하지만 여기서 말하는 '곱하고 나눈다'는 구조는
하나의 경우의 수 덩어리 안에서
구별을 만들고 통합하는 과정을 뜻한다.

더하는 것은
서로 완전히 다른 선택지를 단순히 합치는 것이고,
곱하고 나누는 것은
한 선택 안에서 구별과 무시를 다루는 것이다.

우리는 조합 공식을 외우고 쓴다

nCr = n! ÷ (r! × (n - r)!)

하지만 이 공식이 진짜로 말하는 것은 따로 있다
이것은 단순한 계산 방법이 아니라
곱셈으로 만든 질서를 나눗셈으로 정제하는 사고의 구조이다

왜 덧셈이나 다른 수식이 아니라 곱하고 나누는 구조여야 하는가
그 이유를 차근차근 따져보자

1. 조합은 '몇 개 고른다'가 아니라 '구별을 제거하는 것'이다

"10명 중 3명을 뽑는다"라는 문제를 생각해보자
보통은 10C3을 바로 떠올린다

하지만 이 과정은 단순히 3명을 고르는 것이 아니다

실제로는
10명을 순서 있게 3명 뽑고
그 안의 순서를 제거하는 과정이다

즉 먼저

10 × 9 × 8 = 10P3

순열을 만든다

그 다음 뽑힌 3명의 서로 다른 순서를 제거한다
서로 다른 3명의 순서는 3! = 6가지이므로

10P3 ÷ 3! = 10C3

결국 조합은
순서를 만들고
그 순서를 없애는 두 단계를 반드시 거친다

1. 수학은 순서를 통해서만 세상을 구별할 수 있다

다시 "10명 중 3명을 뽑는다"는 문제를 보자
A-B-C와 C-B-A는 같은 조로 보지만
경우의 수를 세기 위해서는 처음에는 반드시 구별해야 한다

'경우의 수'란 구별 가능한 상태의 수를 세는 것이다

A-B-C와 C-B-A를 처음부터 같은 것으로 보면
경우를 셀 수 없다

따라서 우리는 먼저 모든 구별 가능한 상태를 만든다
그 후 실제로 같다고 보는 것들끼리 하나로 묶는다

묶는 과정이 바로 나눗셈이다

1. 조합은 '몫집합'을 센다 – 동치 관계를 세우고 그 클래스를 센다

수학적으로 표현하면 조합은 몫집합을 세는 과정이다

먼저 순열로 전체 경우의 수를 만든다

nPr = n! ÷ (n - r)!

그리고 동치관계를 설정한다
"뽑힌 r명의 순서는 의미 없다"는 조건을 세운다

따라서 서로 다른 r명의 순서에 해당하는 r!개의 경우를 모두 하나로 묶는다

몫집합을 만드는 과정은 다음과 같다

전체 경우 수 ÷ 동치 클래스의 크기 = 조합

즉

nCr = n! ÷ (r! × (n - r)!)

여기서 r!은 한 클래스 안에 몇 개의 순열이 들어 있는지를 나타낸다

1. 왜 나눗셈인가 – 나눗셈은 '동일시'를 의미하기 때문이다

수학에서 나눗셈은 단순한 연산이 아니다
나눗셈은 항상 "여러 개를 하나로 묶는" 행위이다

예를 들어

똑같은 물건 12개를 3개씩 나누면 12 ÷ 3 = 4
같은 값을 여섯 번 더한 후 평균을 내면 (a + a + a + a + a + a) ÷ 6 = a

조합에서도 마찬가지이다
우리는 "이 세 명은 순서가 달라도 같다"는 판단을 한다
그리고 그 판단에 따라 r!개의 서로 다른 순서를 하나의 덩어리로 묶는다

조합은

곱셈으로 만든 '구별된 상태'를
나눗셈으로 '의미 없는 덩어리'로 바꾸는 과정이다

이 사고가 조합 전반에 깔려 있다

1. 그 외의 조합 공식도 결국 같은 구조이다

예를 들어
6명을 2명씩 3개의 조로 나누는 문제를 생각하자
조 이름이 없다고 가정한다

곱셈으로 순서 있게 나누면

6C2 × 4C2 × 2C2

이 결과는 조들의 순서까지 구별한 경우의 수이다

조 이름이 없으므로 조들의 순서를 제거해야 한다
따라서 3!으로 나눈다

최종적으로는

6! ÷ (2! × 2! × 2! × 3!)이 된다

여기서도 곱하고 나눈다
곱셈은 모든 구별을 만들고
나눗셈은 그 중에서 의미 없는 구별을 제거한다

결론 – 조합은 곱셈이 아니라 '곱셈 다음의 판단'이다

조합을 "곱하고 나눈다"고만 기억하는 것은 표면적인 계산에 머무는 것이다

조합이란

먼저 순서를 만든다
그 순서가 실제로 의미가 없는 경우라면
그때 나눗셈을 통해 구별을 제거한다

덧셈이나 다른 연산은 이 과정을 표현할 수 없다

오직 곱셈과 나눗셈만이

• 구별을 만들고
• 의미 없는 구별을 없애는
  이 사고 구조를 구현할 수 있다

그래서 조합은 곱셈과 나눗셈으로만 완성된다

경우의 수를 셀 때 우리는 자연스럽게 곱셈을 사용한다
6명 중 2명을 고르고 남은 사람 중에서 다시 2명을 고르고 이런 과정을 따른다
겉으로 보기에는 계산이 정확하고 절차가 타당해 보인다

하지만 단순히 곱한 결과가 언제나 문제의 답이 되는 것은 아니다

곱셈은 우리가 의식하지 못하는 사이에 '순서'를 만들어낸다
이 순서가 문제 상황에서 실제로 의미가 있다면 그대로 두면 되지만
만약 의미가 없다면 반드시 제거해야 한다

조합에서 나눗셈이 등장하는 이유는 단순한 공식 때문이 아니다
우리가 곱셈으로 만들어낸 불필요한 순서를 지워주기 위함이다
곱셈이 만들어낸 가짜 질서를 나눗셈으로 정제하는 것이다

이제 다양한 예시를 통해 곱셈과 나눗셈이 왜 등장하는지 그 근본을 하나씩 살펴보자

1. 조편성 문제 – 조의 순서가 왜 생기고 왜 제거해야 하는가

문제
남학생 6명을 2명씩 3개의 조로 나눈다 조 이름은 없다

먼저 자연스럽게 곱셈으로 계산해 본다

첫 번째 조를 6명 중 2명 고르는 방법은 6C2이다
두 번째 조는 남은 4명 중 2명을 고르는 방법이므로 4C2이다
마지막 두 명은 자동으로 남는다

따라서 경우의 수는 6C2 × 4C2 × 2C2 = 15 × 6 × 1 = 90이다

그런데 이 90이라는 수는 '조의 순서'를 구별한 결과이다
즉 첫 번째 조 두 번째 조 세 번째 조를 서로 다르게 본 것이다

하지만 문제는 조 이름이 없고 조끼리의 순서를 구분하지 않는다
따라서 동일한 세 조의 자리 바꿈인 3! = 6으로 나누어야 한다

6C2 × 4C2 × 2C2 ÷ 3! = 15

곱셈은 조마다 순서를 부여했고
나눗셈은 그 불필요한 구별을 없앴다

1. 카드 손패 – 순서가 없는 선택은 어떻게 만들어지는가

문제
52장의 카드 중에서 5장을 뽑아 손패를 만든다 순서는 고려하지 않는다

곱셈으로 풀어보면
52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311,875,200

하지만 이 계산은 5장의 카드를 순서까지 구별한 경우를 모두 세었다
A-K-Q-J-10과 10-J-Q-K-A는 같은 손패지만 여기서는 다르게 세어버린 것이다

따라서 중복된 순서를 제거하기 위해 5! = 120으로 나눈다

52 × 51 × 50 × 49 × 48 ÷ 5! = 52C5

조합은 '순서 없는 선택'을 다루기 위해 곱셈 결과에 나눗셈을 적용한 것이다
순서를 만든 것은 곱셈이었고 그것을 정리한 것이 나눗셈이었다

1. 원탁 문제 – 회전이란 대칭을 어떻게 제거하는가

문제
8명을 원탁에 둘러 앉힌다 의자는 고정되지 않는다

일렬로 세운다면 경우의 수는 8!이다
하지만 원탁에서는 A-B-C-D와 D-A-B-C를 같은 배열로 본다

회전이 자유로운 구조에서는 맨 앞에 오는 사람을 고정해야 중복 없이 셀 수 있다

따라서 8! ÷ 8 = 7!

회전으로 생기는 중복을 없앤 결과이다
여기서도 곱셈은 모든 순서를 구별했고
나눗셈은 실제 의미 없는 구별을 제거했다

1. 중복 문자 배열 – 같은 것이 섞여 있으면 왜 나눠야 하나

문제
MISSISSIPPI의 철자를 재배열한다

총 문자는 11개이고 모두 다르다고 가정하면 11!이다
하지만 실제로는 S가 4개 I가 4개 P가 2개 M이 1개이다

같은 문자는 서로 바꿔도 결과가 같으므로 중복을 제거해야 한다

따라서

11! ÷ (4! × 4! × 2!) = 34,650

곱셈은 모든 문자를 구별했고
나눗셈은 같은 문자끼리의 바꿈을 하나로 묶었다

1. 정수 분배 (Stars and Bars) – 눈에 보이지 않는 순서를 나눗셈으로 제거

문제
x + y + z = 7을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수를 구한다

이 문제는 별 7개와 막대 2개를 일렬로 배열하는 문제로 변환할 수 있다
총 9개의 자리 중에서 막대 2개를 어디에 넣을지를 결정하면 된다

곱셈으로 생각하면 별과 막대를 구별해 9!로 배열할 수 있다
하지만 별끼리 막대끼리는 구별하지 않는다

따라서 9! ÷ (7! × 2!) = 9C2 = 36

곱셈은 별과 막대를 각각 독립된 대상으로 구별했지만
나눗셈은 서로 같은 것을 하나로 묶었다

핵심 정리

우리가 곱셈을 하면

• 대상을 구별하고
• 순서를 부여하게 된다

하지만 문제의 조건이 그 순서를 요구하지 않으면
곱셈이 만들어낸 가짜 구별을 반드시 제거해야 한다

곱셈은 구별을 만들고
나눗셈은 무의미한 구별을 없앤다

조합 공식의 구조는 이 원리를 그대로 반영한다

n! ÷ (r! × (n - r)!)

n!은 전체 순열을 의미한다
r!은 선택된 r명의 순서를 제거하는 것이다
(n - r)!은 선택되지 않은 나머지의 순서를 제거하는 것이다

전체적으로 보면 조합 공식은 곱셈으로 발생한 불필요한 순서를 모두 정리하는 과정이다

수학은 언제나 구별과 동일시 사이의 균형을 고민한다

곱셈은 차이를 만들고
나눗셈은 필요 없는 차이를 없앤다

경우의 수 문제를 볼 때마다
"지금 만든 순서가 진짜 필요한가"를 스스로 묻고 답해야 한다

필요한 순서라면 남기고
필요하지 않다면 반드시 없애야 한다

그렇게 해야만
우리는 정확한 경우의 수를 구할 수 있다

문제

한 개의 정삼각형 탁자가 있다.
이 탁자의 각 변에는 좌석 3개씩이 배치되어 있어, 총 9개의 좌석이 있다.

여기에 어른 4명, 어린이 5명을 앉히려고 한다.
단, 각 변에는 어른이 적어도 1명 이상 있어야 한다.

이 조건을 만족하면서 사람들을 앉히는 경우의 수는 몇 가지일까?

간단하게 생각해보면 하기 쉬운 풀이

이 문제를 처음 보면, 많은 사람들이 이렇게 접근하게 된다.

1. 어른 4명 중 3명을 골라 각 변에 한 명씩 배치한다 → $ \binom{4}{3} $
2. 각 변의 좌석 3개 중에서 어른을 앉힐 자리를 정한다 → $3 \times 3 \times 3 = 3^3$
3. 나머지 6석에 남은 인원(어른 1명 + 어린이 5명)을 그냥 배열한다 → $6!$

이걸 다 곱하면:

$$
\binom{4}{3} \times 3^3 \times 6! = 4 \times 27 \times 720 = \boxed{77,760}
$$

언뜻 보면 맞는 것 같다 그렇지만 이 풀이엔 오류가 있다.

왜 이 풀이가 논리적으로 틀렸을까?

이 방식은 겉보기에는 문제를 잘 풀어낸 것처럼 보이지만, 사실은 계산 단계마다 논리적 구멍이 숨어 있다.

1. 어른 3명을 선택하는 과정에서 중복 계산 발생

예를 들어 어른 A, B, C를 선택하는 경우와 A, B, D를 선택하는 경우를 보자.
결국 C와 D 중 누가 한 변에 들어가느냐만 바뀌고, 전체 배치 형태는 똑같을 수 있다.

즉, 같은 최종 배치를 서로 다른 경우로 중복 계산하고 있는 것이다.

2. 각 변의 자리배치에서 회전 대칭 처리 오류

각 변은 3개의 좌석이 원형으로 연결되어 있다.
그럼 3명이 앉을 수 있는 방법은 $3!$이 아니라 원순열을 적용한 $(3 - 1)! = 2$가지가 되어야 한다.

그런데 위의 풀이는 각 변마다 3자리 중 하나를 고정한다는 식으로, 사실상 회전 대칭을 무시하고 3가지 경우로 계산하고 있다.
즉, 회전 중복을 제거하지 못하고 오히려 더 많이 세고 있는 셈이다.

3. 틀린 방식이지만 오차가 상쇄되어 답은 맞음

어른 선택에서 같은 배치를 여러 번 중복 계산해서 과잉 계산이 발생하고,
자리배치에서 회전 대칭을 무시해서 또 과잉 계산을 한다.

이 두 과잉 계산이 서로 상쇄되는 구조가 되면서,
놀랍게도 최종 답은 우연히 맞는 것이다.

즉,

답은 맞지만 논리적으로 엉망이다.

그럼 이 문제는 어떻게 풀어야 할까?

1. A변을 피봇으로 잡고 (어른 2, 어린이 1) 조 편성

• 어른 4명 중 2명을 선택: A변에 들어갈 어른 2명 선택 → $ \binom{4}{2} $
• 어린이 5명 중 1명 선택: A변에 들어갈 어린이 1명 선택 → $ \binom{5}{1} $
• A변 자리배치 (3명 순열): $3!$

→ 총 경우의 수:

$$
\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} \times 3!
$$

2. B변과 C변은 서로 대칭 (각각 어른 1명, 어린이 2명)

• 남은 어른 2명 중 1명을 B변에 배정 → 나머지 한 명은 C변으로 자동
  → 대칭이지만 변을 구분하여 $ \binom{3}{1} $ 사용
• 남은 어린이 4명 중 2명을 B변에 배정 → 나머지 2명은 C변으로 자동

→ 조편성 경우의 수:

$$
\binom{3}{1} \times \binom{4}{2}
$$

(※ 여기서 $\binom{3}{1}$은 남은 어른 3명 중에서 한 명을 B변에 배정한다는 뜻)

• B변, C변 자리배치 (각 3명 순열): 각각 $3! \times 3!$

최종 식:

$$
\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} \times 3! \times \binom{3}{1} \times \binom{4}{2} \times 3! \times 3!
$$

각 항목 해설

정답을 구하는 정확한 식은 다음과 같다:

$$
\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} \times 3! \times \binom{2}{1} \times \binom{4}{2} \times 3! \times 3! \
= 6 \times 5 \times 6 \times 2 \times 6 \times 6 \times 6 = \boxed{77760}
$$

마무리

이 문제에서 자주 쓰이는 간단한 풀이는 사실 중복 계산과 회전 대칭 처리 오류로 논리적으로 맞지 않는다.
하지만 그 두 오류가 우연히 상쇄되면서 정답만은 맞게 되는 신기한 경우다.

반면, 올바른 풀이는

• 조를 먼저 나누고,
• 각 변별로 인원을 정한 후,
• 각 조의 내부 자리배치를 정확히 계산하는 과정을 통해
  정확하고 논리적인 결과를 낸다.

우리가 수학 문제를 풀 때 단순히 “답이 맞았다”에 만족하지 않고 왜 그런지, 과정이 논리적으로 타당한지를 따지는 것이
진짜 수학적 사고를 키우는 길이 아닐까?

30명의 사람이 있고, 이들을 5명씩 6개의 조로 나누려고 한다고 해보자.
이때, 범성이와 기륜이가 같은 조에 속할 확률은 얼마일까?

이 문제는 겉보기에 단순해 보이지만, 어떻게 접근하느냐에 따라 풀이 방식이 달라진다.
직관적으로 빠르게 구하는 방법도 있고, 수학적으로 정확하게 경우의 수를 따져서 푸는 방법도 있다.
두 방식은 결과는 같지만 해석의 깊이에는 차이가 있다.

우선, 모든 조가 5명씩 균등하게 나뉜 상황부터 살펴보자.

이 경우, 범성이는 어느 조에 속하든 상관없다. 어차피 확률은 1이기 때문이다.
이제 기륜이가 범성이와 같은 조에 들어가야 둘이 같은 조가 된다.
남은 29자리 중에서 범성이가 속한 조의 나머지 4자리 중 하나를 선택하면 되므로, 확률은

$$
\frac{4}{29}
$$

이 된다. 아주 간단하고 우아한 풀이이다.

하지만 이걸 좀 더 수학적 확률의 관점에서,
즉 “성공 경우의 수 / 전체 경우의 수”로 풀어보면 어떻게 될까?

• 전체 경우의 수는 30명 중에서 2명을 뽑는 경우이므로
  
  $$
  \binom{30}{2} = 435
  $$
• 범성이와 기륜이가 같은 조에 있을 수 있는 경우는, 각 조에서 2명을 뽑는 경우의 수의 합이다.
  5명 중 2명을 고르는 경우는이고, 이런 조가 6개 있으므로 전체 성공 경우는
  $$
  6 \times 10 = 60
  $$
  $$
  \binom{5}{2} = 10
  $$

따라서 확률은

$$
\frac{60}{435} = \frac{4}{29}
$$

로 앞서의 직관적 풀이와 정확히 일치한다.

또는 경우의 수를 정리해서 다음과 같이 표현할 수도 있다:

$$
\frac{6C1 \times 5P2}{30P2}
$$

하지만 이런 간단한 풀이가 언제나 통하는 것은 아니다.
위와 같은 직관적 풀이가 성립하는 배경에는 조의 크기가 모두 동일하다는 대칭성이 숨어 있다.

이제 문제를 조금 더 복잡하게 바꿔보자.
조의 구성 인원이 다음과 같다고 하자:

5 / 6 / 4 / 5 / 5 / 5

이제는 범성이가 어느 조에 배정되느냐에 따라
기륜이가 그 조에 들어갈 수 있는 자리 수가 달라진다.
이 상황에서는 단순히 “범성이는 무조건 배정, 기륜이는 남은 자리 중 같은 조 선택” 식으로 풀 수 없다.

조건부 확률로 접근해보자

1. 범성이가 각 조에 배정될 확률은 조의 크기에 비례하므로 다음과 같다:
   • 5명 조: $4 \times 5 = 20$명 → 확률 $\frac{20}{30}$
   • 6명 조: $1 \times 6 = 6$명 → 확률 $\frac{6}{30}$
   • 4명 조: $1 \times 4 = 4$명 → 확률 $\frac{4}{30}$
2. 기륜이가 같은 조에 들어갈 확률:
   • 5명 조: 남은 자리 4 → 확률 $\frac{4}{29}$
   • 6명 조: 남은 자리 5 → 확률 $\frac{5}{29}$
   • 4명 조: 남은 자리 3 → 확률 $\frac{3}{29}$
3. 따라서 전체 확률은 다음과 같다:

$$
\frac{20}{30} \times \frac{4}{29} + \frac{6}{30} \times \frac{5}{29} + \frac{4}{30} \times \frac{3}{29}
= \frac{80 + 30 + 12}{870} = \frac{122}{870} = \frac{61}{435}
$$

수학적 확률로 풀어도 마찬가지다

• 전체 경우의 수:
• $$
  \binom{30}{2} = 435
  $$
• 성공 경우의 수는 각 조별로 다음과 같다:
  • 5명 조: $4 \times \binom{5}{2} = 4 \times 10 = 40$
  • 6명 조: $\binom{6}{2} = 15$
  • 4명 조: $\binom{4}{2} = 6$
  따라서 전체 성공 경우의 수는
• $$
  40 + 15 + 6 = 61
  $$

확률은 역시

$$
\frac{61}{435}
$$

이 된다.

이제 이 문제에서 얻은 깨달음을 요약해보면

• 조의 크기가 모두 같다면,
  기륜이가 같은 조의 남은 자리에 들어갈 확률을 직접 계산하면 빠르고 직관적인 풀이가 가능하다.
• 하지만 조의 크기가 서로 다르면,
  조건부 확률 또는 수학적 확률의 엄밀한 접근이 반드시 필요하다.

단순한 상황에서는 우아한 해법이 유용하지만,
그 풀이가 성립하는 전제(대칭성)를 인식하지 못한 채 무작정 사용하면,
복잡한 문제에서는 오히려 위험해질 수 있다.

그래서 때로는 길고 복잡해 보이더라도,
수학적으로 정확한 원리에 근거한 해법을 선택하는 것이 더 안전하고 본질적인 접근이 될 수 있다.

중복조합

참고서, 개념서에는 중복조합의 정의를
'서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 고르는 경우의 수'
라고 한다.

그러나,
'서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 고르는 경우의 수'가 아니라
'(서로 다른) n개의 종류에서 r개를 고르는 경우의 수'라고 이해해야 더 명확하다.

왜 이렇게 정의해야 하는가?

이를 위해 중복조합의 정의를 살펴보자.
중복조합의 증명은 두 가지 방법으로 알려져있다.

1. 칸막이를 도입하여 증명
2. 순서쌍을 이용하여 증명

이 증명을 마친 후 이 개념을 조합에 적용할 수 없다는 것을 알 수 있다.
만약 중복조합이
'서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 고르는 경우의 수'
라고 한다면 위의 두 증명(칸막이, 순서쌍)을 이용해서 조합도 설명되야 한다.
그러나, 비슷해 보이는 수식 ${}_{n}C_{r}$과 ${}_{n}H_r$을 잘 살펴보면
특히 예시를 들어 ${}_{6}C_2$ 와 ${}_{6}H_2$의 수식을 분수로 풀어놓고 생각해보면
조합은 도저히 위의 두 논리로 설명 안된다.
애시당초 정의가 다르기 때문이다.

=====
이어서

이차함수, 삼차함수, 사차함수의 총정리이다

장편소설이 될 것이다.

작성중..

출처 : https://namu.wiki/w/%EB%8B%A4%ED%95%AD%ED%95%A8%EC%88%98/%EA%B3%B5%EC%8B%9D/%EB%84%93%EC%9D%B4#s-3.2

문제는 다음과 같다.

해설1과 해설2를 다룰 것이다. 해설1이 이해하기 쉽고 직관적이지만

사실 이 문제를 다 이해하려면 해설2의 방식으로 풀어야 한다.

해설1)

해설2)

해설을 읽고나서 다음의 애니메이션을 보고 계속 곱씹어보면 직관적으로 이해가 될 것이다.

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a1과 a2가 같아지는 지점에서 k는 12의 약수가 된다.