곱했으면 왜 나눠야할까 - 곱셈은 순서를 발생시킨다(2)

우리는 조합 공식을 외우고 쓴다

nCr = n! ÷ (r! × (n - r)!)

하지만 이 공식이 진짜로 말하는 것은 따로 있다
이것은 단순한 계산 방법이 아니라
곱셈으로 만든 질서를 나눗셈으로 정제하는 사고의 구조이다

왜 덧셈이나 다른 수식이 아니라 곱하고 나누는 구조여야 하는가
그 이유를 차근차근 따져보자

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1. 조합은 '몇 개 고른다'가 아니라 '구별을 제거하는 것'이다

"10명 중 3명을 뽑는다"라는 문제를 생각해보자
보통은 10C3을 바로 떠올린다

하지만 이 과정은 단순히 3명을 고르는 것이 아니다

실제로는
10명을 순서 있게 3명 뽑고
그 안의 순서를 제거하는 과정이다

즉 먼저

10 × 9 × 8 = 10P3

순열을 만든다

그 다음 뽑힌 3명의 서로 다른 순서를 제거한다
서로 다른 3명의 순서는 3! = 6가지이므로

10P3 ÷ 3! = 10C3

결국 조합은
순서를 만들고
그 순서를 없애는 두 단계를 반드시 거친다

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1. 수학은 순서를 통해서만 세상을 구별할 수 있다

다시 "10명 중 3명을 뽑는다"는 문제를 보자
A-B-C와 C-B-A는 같은 조로 보지만
경우의 수를 세기 위해서는 처음에는 반드시 구별해야 한다

'경우의 수'란 구별 가능한 상태의 수를 세는 것이다

A-B-C와 C-B-A를 처음부터 같은 것으로 보면
경우를 셀 수 없다

따라서 우리는 먼저 모든 구별 가능한 상태를 만든다
그 후 실제로 같다고 보는 것들끼리 하나로 묶는다

묶는 과정이 바로 나눗셈이다

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1. 조합은 '몫집합'을 센다 – 동치 관계를 세우고 그 클래스를 센다

수학적으로 표현하면 조합은 몫집합을 세는 과정이다

먼저 순열로 전체 경우의 수를 만든다

nPr = n! ÷ (n - r)!

그리고 동치관계를 설정한다
"뽑힌 r명의 순서는 의미 없다"는 조건을 세운다

따라서 서로 다른 r명의 순서에 해당하는 r!개의 경우를 모두 하나로 묶는다

몫집합을 만드는 과정은 다음과 같다

전체 경우 수 ÷ 동치 클래스의 크기 = 조합

즉

nCr = n! ÷ (r! × (n - r)!)

여기서 r!은 한 클래스 안에 몇 개의 순열이 들어 있는지를 나타낸다

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1. 왜 나눗셈인가 – 나눗셈은 '동일시'를 의미하기 때문이다

수학에서 나눗셈은 단순한 연산이 아니다
나눗셈은 항상 "여러 개를 하나로 묶는" 행위이다

예를 들어

똑같은 물건 12개를 3개씩 나누면 12 ÷ 3 = 4
같은 값을 여섯 번 더한 후 평균을 내면 (a + a + a + a + a + a) ÷ 6 = a

조합에서도 마찬가지이다
우리는 "이 세 명은 순서가 달라도 같다"는 판단을 한다
그리고 그 판단에 따라 r!개의 서로 다른 순서를 하나의 덩어리로 묶는다

조합은

곱셈으로 만든 '구별된 상태'를
나눗셈으로 '의미 없는 덩어리'로 바꾸는 과정이다

이 사고가 조합 전반에 깔려 있다

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1. 그 외의 조합 공식도 결국 같은 구조이다

예를 들어
6명을 2명씩 3개의 조로 나누는 문제를 생각하자
조 이름이 없다고 가정한다

곱셈으로 순서 있게 나누면

6C2 × 4C2 × 2C2

이 결과는 조들의 순서까지 구별한 경우의 수이다

조 이름이 없으므로 조들의 순서를 제거해야 한다
따라서 3!으로 나눈다

최종적으로는

6! ÷ (2! × 2! × 2! × 3!)이 된다

여기서도 곱하고 나눈다
곱셈은 모든 구별을 만들고
나눗셈은 그 중에서 의미 없는 구별을 제거한다

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결론 – 조합은 곱셈이 아니라 '곱셈 다음의 판단'이다

조합을 "곱하고 나눈다"고만 기억하는 것은 표면적인 계산에 머무는 것이다

조합이란

먼저 순서를 만든다
그 순서가 실제로 의미가 없는 경우라면
그때 나눗셈을 통해 구별을 제거한다

덧셈이나 다른 연산은 이 과정을 표현할 수 없다

오직 곱셈과 나눗셈만이

• 구별을 만들고
• 의미 없는 구별을 없애는
  이 사고 구조를 구현할 수 있다

그래서 조합은 곱셈과 나눗셈으로만 완성된다