부분분수 분해의 원리와 거듭제곱 인수 분해

유리함수(다항식 대 다항식) 형태의 분수식을 다룰 때, 부분분수 분해는 필수적인 기법이다. 이를 통해 적분, 미분방정식, 라플라스 변환 등에서 복잡한 식을 간단히 처리할 수 있다. 아래에서는 부분분수 분해가 왜 가능한지, 그리고 거듭제곱 인수가 있을 때 어떻게 정석 형태로 쪼개어 표현하는지 그 과정을 살펴본다.

1. 분자 차수 조정: 다항식의 나눗셈

유리함수
$$
\frac{P(x)}{Q(x)}
$$
를 부분분수 형태로 만들기 위해서는, 우선 분자 차수($\deg(P)$)가 분모 차수($\deg(Q)$)보다 작은지 확인해야 한다. 만약
$$
\deg(P) \ge \deg(Q)
$$
라면, 다항식의 나눗셈을 통해 다음과 같이 표현한다.

$$
\frac{P(x)}{Q(x)}
=
S(x)
+
\frac{R(x)}{Q(x)},
$$

여기서 $S(x)$는 다항식 몫이고, $R(x)$는 나머지로서
$$
\deg(R) < \deg(Q)
$$
가 되도록 한다. 결국 부분분수 분해는
$$
\frac{R(x)}{Q(x)}
$$
에 대해서만 진행하면 된다.

2. 분모의 인수분해와 부분분수의 '덩어리' 형태

분모 $Q(x)$가 인수분해 가능한 이유는 대수학의 근본원리에 기초한다. 실수 범위에서라면 1차 또는 2차 인수로, 복소수 범위에서는 1차 인수만으로 완전히 쪼갤 수 있다.

2.1 덩어리 형태의 예시

예컨데, 분모에 $(x-r)^m$ 같은 거듭제곱 인수가 포함되어 있다면, 아래와 같이 덩어리 형태로 가정할 수 있다.

$$
\frac{\text{최대 }(m-1)\text{차 다항식}}{(x-r)^m}.
$$

즉, 분자가
$$
a_{m-1} x^{m-1} + \dots + a_0
$$
(차수 $\le m-1$)로 되어 있는 형태를 생각할 수 있다. 이렇게 잡으면 "분자 차수 = (분모 차수) - 1" 범위 내에서 식을 통제할 수 있게 된다.

3. 정석 형태: 거듭제곱 인수 $(x-r)^m$를 1차 항들로 완전히 쪼개기

부분분수의 '정석' 분해에서는 $(x-r)^m$에 대해

$$
\frac{A_1}{(x-r)}
+
\frac{A_2}{(x-r)^2}
+
\dots
+
\frac{A_m}{(x-r)^m}
$$

처럼 하나씩 항을 배정하는 방식을 취한다.

• 만약 덩어리로 $\displaystyle \frac{p_{m-1}(x)}{(x-r)^m}$ 형태로 두었더라도, 실제로는 그것을 모두 1차 항의 합으로 다시 쪼갤 수 있다.

3.1 왜 $(x-r)^m$를 이렇게 쪼개는 것이 항상 가능한가?

이를 보이기 위해 양변에 $(x-r)^m$을 곱해서, "분자 = 분자" 항등식을 만들면 된다. 예를 들어,

$$
\frac{p_{m-1}(x)}{(x-r)^m}
=
\frac{A_1}{(x-r)}
+\cdots+
\frac{A_m}{(x-r)^m}
$$

양변에 $(x-r)^m$을 곱하면

$$
p_{m-1}(x)
=
A_1,(x-r)^{m-1}
+
A_2,(x-r)^{m-2}
+\dots+
A_m.
$$

오른쪽은 $(x-r)^{m-1} (x-r)^{m-2}, \dots (x-r)^0$의 선형 결합이 된다. 서로 다른 지수를 가지는 이러한 항들은 선형 독립이므로, 어떤 $\deg \le (m-1)$인 다항식 $p_{m-1}(x)$도 유일한 방법으로 표현할 수 있다. 따라서

$$
\frac{p_{m-1}(x)}{(x-r)^m}
=
\frac{A_1}{(x-r)}
+
\frac{A_2}{(x-r)^2}
+
\dots
+
\frac{A_m}{(x-r)^m}.
$$

즉, "덩어리"를 "1차 항들"로 세분화할 수 있음을 보장할 수 있다.

4. 전체 분모가 여러 인수를 갖는 경우

분모가
$$
(x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2}\cdots
$$
처럼 여러 거듭제곱 인수로 이루어져 있다면, 각각의 인수에 대해 위 과정을 독립적으로 적용할 수 있다. 예를 들어:

1. $(x-r_1)^{m_1}$ 블록:

   $$ \frac{A_{1,1}}{(x-r_1)} + \frac{A_{1,2}}{(x-r_1)^2} + \cdots + \frac{A_{1,m_1}}{(x-r_1)^{m_1}} $$

2. $(x-r_2)^{m_2}$ 블록:

   $$
   \frac{A_{2,1}}{(x-r_2)}+ \cdots + \frac{A_{2,m_2}}{(x-r_2)^{m_2}} $$

이 항들을 모두 더해 통분하면, 원래의 덩어리 분수와 같아짐을 계수 비교로 확인할 수 있다.

5. 분해 후 계수 결정: 통분과 항등식

분모의 모든 인수를 대상으로 위처럼 분해했다면,

1. 통분: 분모를 같게 만들어 식을 합치면
   $$ \frac{\text{(결과 분자)}}{Q(x)} = \frac{R(x)}{Q(x)}. $$

   2. 분자 항등식: 결국

   $$ \text{(결과 분자)} = R(x). $$

서로 다른 차수(또는 서로 다른 형태)의 항은 선형 독립이므로, 항별 계수를 비교하면 $A_{i,j}$ 등의 미지수가 유일하게 결정된다. 이 과정을 거쳐 실제 부분분수 분해가 완성된다.

6. 요약 및 대수학적 의의

1. 분자 차수 조정: 먼저 다항식 나눗셈으로 $\deg(\text{분자}) < \deg(\text{분모})$ 상태를 만든다.
2. 덩어리 분해: 인수가 $(x-r)^m$이면
   $$
   \frac{\deg \le (m-1),\text{다항식}}{(x-r)^m}
   $$
   꼴로 표현할 수 있다.
3. 완전 분해: 위 덩어리를
   $$
   \frac{A_1}{(x-r)} + \cdots + \frac{A_m}{(x-r)^m}
   $$
   로 더 세분화할 수 있으며, 이때 계수들은 항등식에 의해 유일하게 결정된다.
4. 여러 인수의 곱: 분모가 여러 거듭제곱 인수를 갖는다면, 각각에 대해 같은 절차를 독립적으로 적용한다.

이 모든 과정은 대수학의 근본원리(인수분해 가능성, 다항식 항등식, 선형 독립성)에 기초하며, 그에 따라 유리함수를 표준 형태(부분분수)로 분해할 수 있음을 보장한다. 이렇게 분해된 결과는 적분, 미분방정식 풀이, 라플라스 변환 등에서 매우 유용하게 쓰인다.

라플라스 변환: 왜 고차항일수록 변환 결과가 작아질까?

라플라스 변환에 대해 고민하면서 가장 큰 의문은 이것이었다.
왜 $f(t) = t^n$ 같은 고차항의 라플라스 변환 결과가 $$\frac{n!}{s^{n+1}}$$처럼 분모가 커지고, 결과적으로 작아질까?
특히 $f(t) = t e^{-t}$와 $f(t) = t^4 e^{-t}$를 직접 그려보면, $t^4 e^{-t}$의 면적이 훨씬 커 보이는데, 왜 변환 결과는 반대로 더 작아지는 것일까?

이 질문을 통해 알게 된 것은, 라플라스 변환이 단순히 그래프의 면적을 계산하는 것이 아니라, 신호를 분석하는 적분 변환이라는 수학적 방식을 사용한다는 점이다.

라플라스 변환은 단순히 면적을 계산하지 않는다

라플라스 변환의 정의는 다음과 같다:

$$
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt
$$

이 정의를 보면, $f(t)$와 $e^{-st}$라는 두 가지 요소가 곱해져 적분된다.
여기서 핵심은 $e^{-st}$가 **시간이 지남에 따라 신호를 지수적으로 감쇠시키는 필터**라는 점이다.
즉, 단순히 $f(t)$의 "총 면적"을 계산하는 것이 아니라, 시간이 지날수록 신호의 기여를 약화시키는 방식으로 적분 값을 구하는 것이다.

왜 $t^4 e^{-t}$가 $t e^{-t}$보다 변환 값이 작아지는가?

$t^4 e^{-t}$는 $t e^{-t}$보다 빠르게 증가하므로 그래프 상에서 더 큰 면적을 가진다.
하지만 라플라스 변환은 이 면적을 그대로 반영하지 않는다. 라플라스 변환은 시간 축 전체에서 신호의 **감쇠된 평균 기여도**를 계산하는데, 이 과정에서 $t^4 e^{-t}$의 "후반부 기여"가 상대적으로 더 강하게 약화된다.

$e^{-st}$의 감쇠가 고차항에 더 강하게 작용한다는 의미

$e^{-st}$는 모든 신호에 동일하게 작용하지만, 고차항인 $t^n$에서는 "감쇠가 더 강하게 작용한다"고 볼 수 있다.
이 말은, 고차항 $t^n$의 경우 시간이 길어질수록 값이 훨씬 더 커지는데, 이 큰 값들이 $e^{-st}$에 의해 더 많이 억제된다는 뜻이다.

예시:

- $f(t) = t$:
$t e^{-st}$는 $e^{-st}$에 의해 점진적으로 감소한다.
- $f(t) = t^4$:
$t^4$는 시간이 길어질수록 훨씬 더 큰 값을 가지지만, $e^{-st}$가 이를 강하게 억제하여 기여도가 약화된다.

라플라스 변환이 단순 면적 계산과 다른 이유

라플라스 변환 결과는 단순히 그래프의 "기하학적 면적"이 아니라, 시간 축 전체에서 신호의 **감쇠된 평균 기여**를 반영한다.
다시 말해, $t^4 e^{-t}$가 그래프 상으로 더 큰 면적을 가지더라도, 라플라스 변환에서는 다음과 같은 이유로 결과가 더 작아진다:

1. **초반 기여**:
   $t^4$는 초반에는 $t$보다 기여도가 작다.
   예를 들어, $t = 0.1$일 때 $t^4 = 0.0001$, $t = 1$일 때 $t^4 = 1$이다. 초반 기여가 작기 때문에 적분 전체에서 초기 기여가 약화된다.
2. **후반 억제**:
   시간이 커질수록 $t^4$는 빠르게 증가하지만, $e^{-st}$가 이 큰 값을 더 강하게 억제한다.
   예를 들어 $t = 10$일 때:
   • $t e^{-st}$: $10 \cdot e^{-10s}$
   • $t^4 e^{-st}$: $10000 \cdot e^{-10s}$
     여기서 $e^{-10s}$는 매우 작은 값이므로, $t^4$의 기여가 $t$보다 훨씬 더 작게 누적된다.
3. **전체 기여의 산술적 약화**:
   적분 과정에서 시간이 길어질수록 고차항 $t^n$의 기여는 전체적으로 약화되며, 이로 인해 결과적으로 더 작은 값으로 나타난다.

왜 고차항일수록 결과가 더 작아지는가?

라플라스 변환의 일반적인 결과는 다음과 같다:
$$
\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}
$$

이 표현이 말하는 것:

1. $n!$: $t^n$의 증가 속도를 나타낸다.
2. $s^{n+1}$: 고차항일수록 $s$-공간에서 결과가 더 작아짐을 나타낸다.

결론: 산술적 절대적 차이를 고려해야 한다

라플라스 변환은 단순히 함수의 기하학적 면적을 계산하는 것이 아니라, 시간 축 전체에서 **신호의 산술적 평균 기여도**를 계산한다.
따라서:

1. $f(t) = t^n$ 같은 고차항은 초반 기여도가 작고, 후반 기여도는 $e^{-st}$에 의해 더 강하게 억제된다.
2. 이는 결과적으로 고차항일수록 라플라스 변환 결과가 더 작은 값으로 나타나게 만든다.

그래프의 "기하학적 면적"과 라플라스 변환 결과의 차이를 이해하려면, 적분 과정에서의 **산술적 절대적 차이**를 반드시 고려해야 한다.
**라플라스 변환은 시간 축 전체에서 신호의 전체적인 평균 기여를 계산하는 도구**라는 점을 명확히 해야 한다.

SR 플립플롭에서 S=1, R=1일 때 실제로는 어떻게 될까?

디지털 공학 수업에서 SR 플립플롭을 배웠다. 기본 동작은 간단하다.
Set(S)=1이면 출력 Q가 1이 되고,
Reset(R)=1이면 Q가 0이 된다.
그런데 S=1, R=1이면 Q와 ~Q가 모두 1이 되어서 불능 상태라고 한다.
그래서 이 조합은 애초에 피해야 하는 입력으로 분류된다.

이 얘기를 들었을 때는 그냥 "아~ 그렇구나" 하고 넘어갔지만,
문득 이런 생각이 들었다.

"근데, 진짜 회로에다 S=1, R=1을 억지로 넣어버리면 어떻게 되지?"

실제로 해볼 수는 없었다. 장비가 없기도 하고
시뮬레이터도 대부분 이 상태를 허용하지 않는다.
그래서 결국 챗GPT한테 물어봤다.

몇 번의 대화를 통해 다음과 같은 내용을 알게 되었다.

1. 불확정 상태

S=1, R=1일 때 플립플롭의 출력은 예측할 수 없다.
이건 단순히 값이 정해지지 않은 수준이 아니라,
Q와 ~Q가 동시에 1이 되는 비논리적 상황이 발생할 수도 있는 것이다.
플립플롭 내부 회로가 어떻게 설계되었는지에 따라
그 결과는 다르게 나타날 수 있다.

2. 메타스테이블 상태

조금 더 흥미로운 건 메타스테이블 상태이다.
이건 ‘불안정한 중간 상태’라고 보면 된다.
Q가 0도 아니고 1도 아닌, 애매한 전압값에 놓인 상태.
디지털 회로는 0과 1만 다룬다고 하지만,
현실은 전압 레벨이라는 아날로그 물리량을 다루기 때문에
이런 경계선에서 회로가 잠시 흔들릴 수 있다.

메타스테이블 상태에선 출력이 안정화되기 전까지
다른 회로에서 그 출력을 읽어버리면 오류나 동기화 문제로 이어질 수 있다.
그래서 동기 회로에서는 이 문제를 아주 조심스럽게 다룬다.

3. 회로 손상은 없을 가능성

다행히 요즘 디지털 회로는 S=1, R=1 같은 상태가
일시적으로 들어오더라도 물리적으로 망가지지 않도록 설계된다.
예외 처리 회로나 기본값으로 리셋되는 구조가 들어가 있는 경우도 있다.
다만, ‘망가지지 않는 것’과 ‘의미 있는 출력을 내는 것’은 다르다.

4. 일부 설계에서는 이 상태를 활용하기도 한다

일부 특수한 플립플롭 설계에서는
S=1, R=1 같은 입력 조합을 특정 기능으로 활용하기도 한다.
예를 들어 모든 출력을 초기화하거나, 시스템을 강제 리셋하는 트리거로 삼는다.
하지만 이런 경우는 엄격하게 제어된 환경에서만 사용된다.

결론을 내보면

S=1, R=1은 이론적으로 "쓰면 안 되는 입력"이지만
현실에서는 이 입력이 들어왔을 때도
그 결과는 설계에 따라 달라질 수 있다.
그래서 단순한 ‘금기’가 아니라,
디지털 회로와 아날로그 물리의 경계선을 보여주는 흥미로운 사례라고 느꼈다.

디지털 회로는 이론적으로는 0과 1이라는 이산적 세계에 살고 있지만,
실제로는 전압이라는 연속적인 물리량을 다루고 있다.
불확정 상태, 메타스테이블 상태 같은 개념은
바로 이 경계에서 발생하는 자연스러운 현상이다.

역시 GPT다 덕분에 궁금증이 풀렸다! 고마워요!